阿里数学竞赛预赛2020年的一道概率题学习

阿里巴巴全球数学竞赛是阿里办的一项数学竞赛。出题范围和往届预选赛题目可以在其官网下查看 。

2020年的预选赛，有道题目是这样的：

考虑一个由从左道右的n个小方格组成的1 × n的区域，从左到右依次在每个小方格种一棵树，一共种n棵。树的种类只有两种：胡杨和樟子松。假设在第一个小方格种植的数是胡杨的概率是r。后续的种树的规则为：如果前一个小方格种的是胡杨，则本格种胡杨的概率为s;如果前一个小方格种的是樟子松，则本格种樟子松的概率为t, 0 < r, s, t < 1

1. 假设r = 1/3, s + t ≠ 1。是否存在s, t使得∀i, 2 ≤ i ≤ n,在第i个小方格种植的树是胡杨的概率都等于一个跟i无关的常数？如果存在，请给出s，t满足的关系；如果不存在，请说明理由。

2. 假设。假设我们观察到第2019个小方格里种植的树是胡杨，但我们观察不到其它小方格里种植的是哪种树。请问第一个小方格里种植的树是胡杨的概率是多少？

这道题考察的其实是马尔科夫链相关的知识，第一问是说什么条件下，题目给定的马尔可夫链在第二步就能达到平稳分布；第二问是从第n步逆推最起始的概率。当然，直接的工具是条件概率和全概率公式。

解答（根据官方答案，有改动）： 首先，我们需要将文字信息转换为便于处理的数学记号，记“E”表示胡杨，“S” 表示樟子松。令X_k表示种在第k个方格的树的种类(根据题意，这是一个随机变量)，令p_k = P(X_k = E),则由题设，有：

且由全概率公式

令k = 2, 我们有：

若∀k ≥ 2, p_k = p₂成立，则,

整理可得

(s − 2t + 1)(s + t − 1) = 0

因为s + t ≠ 1，所以当s − 2t + 1 = 0时，∀k ≥ 2, p_k = p₂

2. 题目给的r, s, t不满足(a)中的条件，所以我们需要求出一般条件下的情况。

令q_k = P(X_k = E|X₁ = E),则需要求的概率是：

(a)中已经求出了p_k得递推式, 仿照(a)的步骤，我们可以求出

解上述递推式，可得：

类似的，由(2)可得

所以有：

将给入条件带入(其实不用计算，因为n = 2019, q_n ≈ p_n），可得P(X₁ = E|X_n = E) ≈ r = 1/3