前言

假设检验是我们在日常研究中，经常碰到的统计问题。对于追求实用与效率的科研人员来说，各种不同的假设检验是可以用软件，点点鼠标，或者写写代码，就可以完成的。

不过，对于我们这些想要在生物信息领域深入和进阶，并且最终有所建树的学生来说，我们光会拧螺丝和用板子，用轮子是不够的，当有新的技术，新的需求出来之后，我们得要造新轮子，开发新方法。因此，我们还是得学学火箭是咋飞起来和板子以及轮子是咋造出来的知识。

我们以学习和介绍研究中比较基础的χ2, t, F三种检验的所对应的分布推导，开始我们的进阶之旅。

说明：本文的推导来自《概率统计讲义》第三版附录二，陈家鼎等编著，高等教育出版社出版。略微有所修改，阅读本文，只需修过本科阶段非数学专业的三门基础数学课：高等数学(不是很深，也不是很浅的数学分析)，线性代数，概率论与数理统计。 ## 正交矩阵与正态分布

在线性代数课程中，我们知道，若n阶方阵A = (aij)n × n满足ATA = I，写成标量的形式就是：



此时，我们称方阵A为正交矩阵。而且，通过线性代数的课程，我们知道，正交矩阵满足如下性质： + 1-1 设A是正交矩阵，则AAT = I，并且结合（1）可得：



  • 1-2 设A是正交矩阵，则AT也是正交矩阵，并且|A| = 1或|A| =  − 1，其中| ⋅ |表示行列式。

  • 1-3 若A = (aij)n × n是正交矩阵，而x1, x2, …, xn是任意n个实数，对于



    我们有

很抱歉，开头罗列了这么多线性代数的事实，不过，也没办法，要做菜，我们得先备料不是吗。下面我们开始做菜了。

定理1 设X1, X2, …, Xn相互独立，且都服从N(0, σ2)，又A = (aij)是正交矩阵，构造随机变量

证明 因Xi的分布密度是,且Xi是独立同分布样本（i.i.d.），故X1, X2, …, Xn联合密度为：

构造n维空间中的区域D:

则有：



注意到

于是（利用正交矩阵的性质）

容易验证，变换的雅可比式为

又故



故Y1, Y2, …, Yn相互独立，且不难看出，都服从N(0, σ2)。定理1证毕。

定理2设X1, X2, …, Xn相互独立，且X ∼ N(μ, σ2)。A = (aij)是n阶正交矩阵,构造随机变量，

则Y1, Y2, …, Yn相互独立，且

证明令Zi = Xi − μ，则Z1, Z2, …, Zn相互独立，都服从N(0, σ2),根据定理1知，相互独立。 且

但是

故Y1, Y2, …, Yn相互独立，且

关于χ2分布

前面的的都是小菜，接下来上主菜。我们要开始证明一系列很fancy的定理

定理3 设X1, X2, …, Xn相互独立，并且都服从N(0, 1),则服从n个自由度的χ2分布，其PDF(probability density function)为

证明 我们证明的策略是，先求出CDF(cumulative distribution function)F(u) = P{ξ ≤ u}，然后利用中值定理，证明F′(u) = kn(u)。

显然，当u ≤ 0, F(u) = 0, F′(u) = kn(u)

当u > 0时，由于X1, X2, …, Xn相互独立，故X1, X2, …, Xn联合密度为， 故

故对于h > 0,有



令 则

问题现在变为如何求S(x)

做代换,则

由此

有趣的是，我们可以看出

是n维单位球体的体积。不过在我们的问题中，我们可以看出它只和n有关的量。故

根据之前的不等式，结合中值定理：



所以

综上

由归一化条件∫ − ∞ + ∞p(u)du = 1知 而在数学分析的知识告诉我们



定理得证。

这个定理的一个副产物是，告诉了我们n维单位球体的体积

推论 若ξ ∼ χ2(n)，则有E(ξ) = n

证明 由定理1，结合数学期望的性质，知

 □

定理4 若ξ与η相互独立，且ξ ∼ χ2(n1), η ∼ χ2(n2)，则ξ + η ∼ χ2(n1 + n2)

证明 设ξ, η，ξ + η的分布函数分别为p1(x), p2(x), p(x)，我们先分别不加证明的引用概率论和Gamma函数的两个结论：

1).已知(X,Y)的联合密度是p(x, y)，Z = Y + Y的PDF为：
pz(z) = ∫ − ∞∞p(x, z − x)dx
2).(p,q为正整数)

下面开始证明： 当 x ≤ 0时，P(ξ + η ≤ 0) = 0, p(x) = 0,定理成立。

当 x > 0时，


（

综上：



□

定理5 若x1, x2, …, xn相互独立，且都服从分布N(0, 1),则有如下三条结论：

  3. X̄与相互独立

证明 构造正交矩阵



由此正交矩阵，我们可以构造随机变量：



有定理1可知，Y1, Y2, …, Yn相互独立，且都服从N(0, 1)， 我们发现Y1 ∼ N(0, 1)，因此，第一条结论得证。

由于故



第二条结论得证。

由于Y1, Y2, …, Yn相互独立，且

故X̄与独立，第三条结论得证 □

推论 若x1, x2, …, xn相互独立，且都服从分布N(μ, σ2),则有如下三条结论：

  3. X̄与相互独立

关于t分布

定理6 设ξ, η相互独立，且ξ ∼ N(0, 1), η ∼ χ2(n)， 则，其PDF为：

证明 与定理3证明的思路类似，设F(u) = P{ζ ≤ u}证明F′(u) = tn(u), 由已知：

故F′(u) = tn(u) □

定理5,6可以用来证明下面这个在统计学里很有作用的定理：

定理7 设X1, X2, …, Xn(n ≥ 2)相互独立，且都服从N(μ, σ2),则其中

证明 构造随机变量

根据定理5的推论，我们知道ξ, η相互独立，且ξ ∼ N(0, 1), η ∼ χ2(n − 1) 故根据定理6， 故

## 关于F分布

定理8 设ξ, η相互独立，且ξ ∼ χ2(n1), η ∼ χ2(n2) 则 其PDF为：

证明 跟之前一样，令F(u) = P{ξ ≤ u} ，证明F′(u) = fn1, n2(u)

当 u ≤ 0, F(u) = 0,

故F′(u) = fn1, n2(u)  □

定理9 设X1, X2, …, Xn1, Y1, Y2, …, Yn, 这n1 + n2个随机变量相互独立，且都服从N(μ, σ2),则

证明 构造随机变量



由之前的结论，我们知道ξ ∼ χ2(n1 − 1), η ∼ χ2(n2 − 1), 接下来证明ξ, η的独立性，构造随机变量：

则

由已知U1, U2, …, Un1, V1, V2, …, Vn2 相互独立，且都服从N(0, 1),于是其联合分布密度为

所以,对于任意的实数a, b, c, d

独立性得证。

再结合定理8，