前言
假设检验是我们在日常研究中，经常碰到的统计问题。对于追求实用与效率的科研人员来说，各种不同的假设检验是可以用软件，点点鼠标，或者写写代码，就可以完成的。
不过，对于我们这些想要在生物信息领域深入和进阶，并且最终有所建树的学生来说，我们光会拧螺丝和用板子，用轮子是不够的，当有新的技术，新的需求出来之后，我们得要造新轮子，开发新方法。因此，我们还是得学学火箭是咋飞起来和板子以及轮子是咋造出来的知识。
我们以学习和介绍研究中比较基础的三种检验的所对应的分布推导，开始我们的进阶之旅。
说明：本文的推导来自《概率统计讲义》第三版附录二，陈家鼎等编著，高等教育出版社出版。略微有所修改，阅读本文，只需修过本科阶段非数学专业的三门基础数学课：高等数学(不是很深，也不是很浅的数学分析)，线性代数，概率论与数理统计。 ## 正交矩阵与正态分布
在线性代数课程中，我们知道，若阶方阵满足，写成标量的形式就是：
此时，我们称方阵为正交矩阵。而且，通过线性代数的课程，我们知道，正交矩阵满足如下性质： + 1-1 设A是正交矩阵，则，并且结合（1）可得：
很抱歉，开头罗列了这么多线性代数的事实，不过，也没办法，要做菜，我们得先备料不是吗。下面我们开始做菜了。
定理1 设相互独立，且都服从，又是正交矩阵，构造随机变量 证明 因的分布密度是,且是独立同分布样本（i.i.d.），故联合密度为：
构造n维空间中的区域D: 则有：
注意到 于是（利用正交矩阵的性质） 容易验证，变换的雅可比式为
又故
故相互独立，且不难看出，都服从。定理1证毕。
定理2设相互独立，且。是n阶正交矩阵,构造随机变量， 则相互独立，且 证明令，则相互独立，都服从,根据定理1知，相互独立。 且 但是 故相互独立，且
关于分布
前面的的都是小菜，接下来上主菜。我们要开始证明一系列很fancy的定理
定理3 设相互独立，并且都服从,则服从个自由度的分布，其PDF(probability density function)为 证明 我们证明的策略是，先求出CDF(cumulative distribution function)，然后利用中值定理，证明。
显然，当
当时，由于相互独立，故联合密度为， 故 故对于,有 令 则 问题现在变为如何求
做代换,则 由此 有趣的是，我们可以看出 是维单位球体的体积。不过在我们的问题中，我们可以看出它只和有关的量。故
根据之前的不等式，结合中值定理： 所以 综上 由归一化条件知 而在数学分析的知识告诉我们
定理得证。
这个定理的一个副产物是，告诉了我们维单位球体的体积
推论 若，则有
证明 由定理1，结合数学期望的性质，知
定理4 若与相互独立，且，则
证明 设的分布函数分别为，我们先分别不加证明的引用概率论和Gamma函数的两个结论：
1).已知(X,Y)的联合密度是，的PDF为： 2).(p,q为正整数)
下面开始证明： 当 时，,定理成立。
当 时，
综上：
定理5 若相互独立，且都服从分布,则有如下三条结论：
- 与相互独立
证明 构造正交矩阵
由此正交矩阵，我们可以构造随机变量：
有定理1可知，相互独立，且都服从， 我们发现，因此，第一条结论得证。
由于故
第二条结论得证。
由于相互独立，且 故与独立，第三条结论得证
推论 若相互独立，且都服从分布,则有如下三条结论：
- 与相互独立
关于t分布
定理6 设相互独立，且， 则，其PDF为： 证明 与定理3证明的思路类似，设证明, 由已知： 故
定理5,6可以用来证明下面这个在统计学里很有作用的定理：
定理7 设相互独立，且都服从,则其中
证明 构造随机变量 根据定理5的推论，我们知道相互独立，且 故根据定理6， 故
## 关于F分布
定理8 设相互独立，且 则 其PDF为： 证明 跟之前一样，令 ，证明
当 , 故
定理9 设, 这个随机变量相互独立，且都服从,则
证明 构造随机变量
由之前的结论，我们知道, 接下来证明的独立性，构造随机变量： 则 由已知 相互独立，且都服从,于是其联合分布密度为 所以,对于任意的实数 独立性得证。
再结合定理8，
